Darstellungstheorie endlicher Gruppen nach dem Buch von Serre Das Buch orientiert sich an dem ausgezeichneten Buch "Linear Representations of Finite Groups" von Serre. Benötigt werden für die Teilnahme nur elementare Kenntnisse der Algebra und Linearen Algebra. Worum geht es in der Darstellungstheorie? Es geht darum, zu einer gegebenen, endlichen Gruppe zu untersuchen, auf welche Weise man diese als Gruppe von Matrizen realisieren kann; welche Möglichkeiten es also gibt, jedem Gruppenelement eine Matrix derart zuzuordnen, dass diese Zuordnung mit der Multiplikation von Gruppenelementen / von Matrizen vertauscht. Mathematisch auf den Punkt gebracht interessieren uns also Gruppenhomomorphismen G -> GL(V), wobei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum (über einem gegebenen Grundkörper) ist. Einen solchen Gruppenhomomorphismus nennt man Darstellung von G in V. In anderen Worten kann man sich eine Darstellung von G in V auch so vorstellen, dass jedes Gruppenelement von G auf V als lineare Abbildung wirkt, und die Wirkung des Produktes gh zweier Gruppenelemente mit der Komposition der Wirkungen von h und g übereinstimmt. Zuletzt kann man eine solche Darstellung auch als Modul über einem speziellen Ring, der Gruppenalgebra von G, auffassen - insofern beschäftigt sich Darstellungstheorie endlicher Gruppen mit Moduln über Ringen von spezieller Form. Die Grundlagen der Darstellungstheorie endlicher Gruppen (über dem Körper der komplexen Zahlen) sind leicht zu erlernen, benötigen kaum Vorwissen und sind trotz geringer Komplexität bereits von großer Schönheit. Weiterhin ist die Theorie kein reiner Selbstzweck, sondern kann zum Beweis gruppentheoretischer Resultate wie z.B. des Satzes von Burnside verwendet werden. |